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Año: 2020
Categoría: Temario - Oposiciones Observador de Meteorología
Título: Tema 1
Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, producto vectorial y producto mixto.

En este enlace de El Universo Matemático se muestra una introducción a la importancia de las Matemáticas en nuestro mundo actual.

En este enlace de El Universo Mecánico podrás acceder a una introducción a los Vectores y su importancia en las Ciencias Físicas.

Introducción

Dados dos puntos del espacio, AA y BB, se define vector fijo AB\overrightarrow{AB} , como el segmento orientado de origen en el punto AA y de extremo el BB. Los vectores en el espacio se caracterizan por un módulo, una dirección y un sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado define un vector libre v\overrightarrow{v}.

Multiplicación por un escalar

Un vector v\overrightarrow{v} puede multiplicarse por un escalar kk cualquiera. El vector resultante, kv\overrightarrow{kv} , tiene un módulo que es kk veces el módulo del vector v\overrightarrow{v} , la misma dirección que v\overrightarrow{v} y el mismo módulo si kk es positivo y sentido contrario si kk es negativo.

  • El producto 0v0\cdot \overrightarrow{v} , es igual al vector 0\overrightarrow{0}, denominado vector nulo.
  • El producto (1)v(-1)\cdot \overrightarrow{v} , es igual al vector v\overrightarrow{-v}, y se llama vector opuesto de v\overrightarrow{v} . Tiene el mismo módulo y dirección que v\overrightarrow{v} , pero sentido contrario.

Adición de vectores

Para sumar dos vectores libres del espacio se hace coincidir el origen del segundo con el extremo del primero. El vector suma es aquel que se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo.

Simulación 1: Adición de vectores
Simulación 2: Adición vectorial

Dados los vectores u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} y w\overrightarrow{w}, la adición cumple las propiedades siguientes:

  • Asociativa: (u+v)+w=u+(v+w)(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})
  • Conmutativa: u+v=v+u\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}
  • Vector nulo: 0+v=v\overrightarrow{0}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}
  • Vector opuesto: v+(v)=0\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}

Dados los vectores u\overrightarrow{u} y v\overrightarrow{v} del espacio y los números reales aa y bb, se cumplen las siguientes propiedades:

  • Asociativa: a(bv)=(ab)va\cdot (b\cdot \overrightarrow{v})=(a\cdot b)\cdot \overrightarrow{v}
  • Distributiva respecto a la suma de vectores: a(u+v)=au+ava\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=a\overrightarrow{u}+a\overrightarrow{v}
  • Distributiva respecto a la adición de números: (a+b)v=av+bv(a+b)\cdot \overrightarrow{v}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{v}
  • Si el 11 es el elemento unidad del conjunto de los números reales, entonces: 1v=v1\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}

El conjunto de los vectores del espacio con las propiedades y operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorial

Vectores linealmente dependientes e independientes

Un vector en el espacio w\overrightarrow{w} es combinación lineal de un conjunto de vectores del espacio, u1,u2,>u3,...un\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, > \overrightarrow{u_3},...\overrightarrow{u_n}, si es posible encontrar unos números reales k1,k2,k3,...knk_1, k_2, k_3,...k_n tales que:

w=k1u1+k2u2+k3u3+...knun\overrightarrow{w}=k_1\overrightarrow{u_1}+k_2\overrightarrow{u_2}+k_3\overrightarrow{u_3}+...k_n\overrightarrow{u_n}

-- Dado un conjunto de vectores, éstos son linealmente dependientes si uno cualquiera de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás.

-- Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás, se dice que dichos vectores son linealmente > independientes.

Los vectores u1,u2,u3,...un\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3},...\overrightarrow{u_n} son linealmente independientes si la única > combinación de ellos es la trivial:

w=k1u1+k2u2+k3u3+...knun=0\overrightarrow{w}=k_1\overrightarrow{u_1}+k_2\overrightarrow{u_2}+k_3\overrightarrow{u_3}+...k_n\overrightarrow{u_n}=\overrightarrow{0}

Es decir:

k1=k2=k3=...=kn=0k_1=k_2=k_3=...=k_n=0

Los vectores u1,u2,u3,...un\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3},...\overrightarrow{u_n} son linealmente dependientes si, además de la trivial, existen otras combinaciones lineales no nulas de estos.

Simulación 3: Combinación lineal de vectores

Si un conjunto de vectores del espacio es tal que cualquier vector del espacio puede expresarse como combinación lineal de ellos, se dice que este conjunto es un sistema de generadores.

Si un sistema de generadores es tal que todos los vectores que lo forman son linealmente independientes entre sí, se dice que el sistema de generadores constituye una base.

Una base del espacio es un conjunto de vectores linealmente independientes entre sí y tales que cualquier vector del espacio puede expresarse como combinación lineal de ellos.

Si los vectores u1,u2,u3\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3} constituyen una base, B1B_1 entonces el vector w\overrightarrow{w} se puede representar en función de esta base. Por ejemplo:

w=2u1+u2u3\overrightarrow{w}=-2\overrightarrow{u_1} + \overrightarrow{u_2} - \overrightarrow{u_3}

Pero, del mismo modo, se podía haber representado w\overrightarrow{w} en función de otra base, B2B_2, distinta a la anterior formada por los vectores

v1,v2,v3\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_3}
w=v1+v2+v3\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}

Diríamos entonces que las componentes del vector w\overrightarrow{w} son:

  • (2,1,1)(-2,1,-1) en la base B1=(u1,u2,u3)B_1=(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{u_3}); y son,
  • (1,1,1)(1,1,1) en la base B2=(v1,v2,v3)B_2=(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_3})

Así pues, las componentes de un vector en una base determinada son los coeficientes de la combinación lineal que permiten expresarlo en función de los elementos de esa base.

En el espacio existen infinitas bases, de tal manera que un vector w\overrightarrow{w} , puede expresarse en función de cualquiera de ellas. Sin embargo en el espacio se suele trabajar con la base canónica formada por los vectores unitarios mutuamente perpendiculares entre sí:

i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)\overrightarrow{i}= (1,0,0) , \overrightarrow{j}= (0,1,0) ,\overrightarrow{k}= (0,0,1)

Con un conjunto de vectores puede construirse una matriz. En el caso de un sistema de ecuaciones el rango nos indica el número de ecuaciones linealmente independientes.

En el caso de un conjunto de vectores, el rango de la matriz nos da el número de vectores linealmente independientes.

Por ejemplo, los vectores

u1=(0,0,1)\overrightarrow{u_1}=(0,0,-1)
u2=(2,1,0)\overrightarrow{u_2}=(-2,-1,0)
u3=(3,0,1)\overrightarrow{u_3}=(-3,0,1)

¿son linealmente independientes?.

Para averiguarlo, vamos a construir la matriz AA y hallar su determinante:

A=(023010101)A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right)

El determinante de esta matriz es no nulo, como se puede apreciar:

A=023010101=30\left\lvert A\right\rvert=\left\lvert \begin{array}{ccc} 0 & -2 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right\rvert=3\ne 0

Por lo tanto, los tres vectores son linealmente independientes. Si este determinante hubiera sido igual a cero, querría decir que hay un vector que es combinación lineal de los otros dos, en consecuencia existiría una dependencia lineal entre estos vectores.

Recurso: Calculadora Matricial On Line

Si se define en el espacio el sistema cartesiano de coordenadas formado por un punto origen O y la base canónica, cualquier punto P quedará determinado por sus tres coordenadas cartesianas. Así, un vector de origen P(x, y, z) y extremo Q(x', y', z') sería el siguiente:

PQ=(xx,yy,zz)\overrightarrow {PQ}=(x'-x, y'-y, z'-z)

Por ejemplo, dado el vector de origen y extremo P(3,2,1)P(3, 2, -1) y Q(2,4,6)Q(2,4,6), sus coordenadas serían:

PQ=(xx,yy,zz)=(23,42,6(1))=(1,2,7)\overrightarrow {PQ}=(x'-x, y'-y, z'-z)=(2-3,4-2,6-(-1))=(-1,2,7)

vector

Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores libres del espacio, se define su producto escalar como:

uv=uvcosα\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=\left\lvert\overrightarrow{u} \right\rvert \cdot \left\lvert \overrightarrow{v}\right\rvert \cdot \cos \alpha

Donde α\alpha representa el menor de los ángulos que forman estos dos vectores. (Recuérdese que al hacer coincidir el origen de dos vectores libres del espacio, formano los ángulos α\alpha y (2πα)(2\pi -\alpha))

Si las coordenadas de estos vectores son: u=(x,y,z)\overrightarrow u=(x,y,z) y v=(x,y,z)\overrightarrow v=(x',y',z'), el porducto escalar se puede calcular también de la siguiente manera:

uv=xx+yy+zz\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=x\cdot x'+y\cdot y'+z\cdot z'

  • El producto escalar de dos vectores siempre es un escalar.
  • El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo, siempre.
  • Si el ángulo que forman los vectores es de 90°90\degree, entonces el producto escalar es nulo. Dos vectores perpendiculares tienen nulo su producto escalar.

Combinando las expresiones anteriores se puede poner:

cosα=uvuv=xx+yy+zzx2+y2+z2x2+y2+z2\cos \alpha=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\left\lvert\overrightarrow{u} \right\rvert \cdot \left\lvert \overrightarrow{v}\right\rvert}=\frac{x\cdot x'+y\cdot y'+z\cdot z'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}

El producto escalar de dos vectores tiene las siguientes propiedades:

  1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo. uu=uucos0°=u2\overrightarrow u\cdot \overrightarrow u=\left\lvert\overrightarrow{u} \right\rvert \cdot \left\lvert \overrightarrow{u}\right\rvert \cdot \cos 0\degree = \left\lvert\overrightarrow{u} \right\rvert ^2, siendo u=x2+y2+z20\left\lvert\overrightarrow{u} \right\rvert=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge0

  2. Propiedad conmutativa. uv=vu\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=\overrightarrow v\cdot \overrightarrow u

  3. Propiedad asociativa mixta. k(uv)=(ku)vk\cdot (\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v)=(k\overrightarrow u)\cdot \overrightarrow v

  4. Propiedad distributiva respecto de la adición. u(vw)=uv+uw\overrightarrow u(\overrightarrow v\cdot \overrightarrow w)=\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v+\overrightarrow u\cdot \overrightarrow w

También se puede definir el producto escalar como el producto del módulo de uno de ellos, por la proyección del otro sobre él.

uv=uvcosα=vproyvu\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=\left\lvert\overrightarrow{u} \right\rvert \cdot \left\lvert \overrightarrow{v}\right\rvert \cdot \cos \alpha=\overrightarrow{v}\cdot proy_{\overrightarrow v}\overrightarrow{u}

vector

Expresión analítica del producto escalar

Sea {e1,e2,e3}\left\{\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3} \right\} una base cualquiera del espacio, y sean u\overrightarrow u y v\overrightarrow v dos vectores, los cuales se pueden expresar como combinación lineal de los vectores de la base:

u=xe1+ye2+ze3\overrightarrow u=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}
v=xe1+ye2+ze3\overrightarrow v=x'\overrightarrow{e_1}+y'\overrightarrow{e_2}+z'\overrightarrow{e_3}

El producto escalar de ambos vectores será:

uv=(xe1+ye2+ze3)(xe1+ye2+ze3)=\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3})\cdot (x'\overrightarrow{e_1}+y'\overrightarrow{e_2}+z'\overrightarrow{e_3})=
=xx(e1e1)+yy(e2e2)+zz(e3e3)=xx'(\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_1})+yy'(\overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_2})+zz'(\overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_3})

Usando la notación matricial se puede reescribir esta expresión de la siguiente forma:

uv=(xyz)(e1e1e1e2e1e3e2e1e2e2e2e3e3e1e3e2e3e3)(xyz)\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2} & \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_3}\\ \overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_2} & \overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_3}\\ \overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_2} & \overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_3} \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)

Hay que hacer notar que la matriz

(e1e1e1e2e1e3e2e1e2e2e2e3e3e1e3e2e3e3)\begin{pmatrix} \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2} & \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_3}\\ \overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_2} & \overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{e_3}\\ \overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_2} & \overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{e_3} \end{pmatrix}

es simétrica ya que el producto escalar es conmutativo.

La expresión anterior se puede simplificar si se escoje la base {e1,e2,e3}\left\{\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3} \right\} de manera adecuada. Así, si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, los productos escalares eiej\overrightarrow{e_i}\cdot \overrightarrow{e_j} son nulos cuando iji\ne j.

Una base cuyos vectores son pependiculares y de módulo igual a 1 recibe el nombre de base ortonormal1. Un ejemplo de ello es la base canónica, formada por los vectores:

  • i=(1,0,0)\overrightarrow{i}=(1,0,0)
  • j=(0,1,0)\overrightarrow{j}=(0,1,0)
  • i=(0,0,1)\overrightarrow{i}=(0,0,1)

Con lo que la expresión del prdoducto escalar quedaría:

uv=(xyz)(iiijikjijjjkkikjkk)(xyz)=\overrightarrow u\cdot \overrightarrow v=\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i} & \overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j} & \overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{j} & \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{i} & \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{k} \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)=
=(xyz)(xyz)=xx+yy+zz=\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) =xx'+yy'+zz'

Expresión que recibe el nombre de expresión analítica del producto escalar. Solamente es válida esta expresión si los vectores están expresados en una base ortonormal.

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores es otro vector que tiene las siguientes propiedades:

  • Su módulo es: u×v=uvsinθ\left\lvert\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} \right\rvert=\left\lvert \overrightarrow{u}\right\rvert\cdot \left\lvert \overrightarrow{v}\right\rvert\cdot \sin\theta

  • Su dirección es perpendicular al plano formado por dichos vectores.

  • Su sentido es el de avance de un sacacorchos que gira del primer vector al segundo por el camino más corto.

  • u×v=ijxxyzxyz\overrightarrow {u} \times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{x}\\ x & y & z\\ x' & y' & z' \end{vmatrix}. Esta expresión recibe el nombre de expresión analítica del porducto vectorial.

  • Si u=0\overrightarrow{u}=0 o bien v=0\overrightarrow{v}=0, entonces u×v=0\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=0

  • Si u=0\overrightarrow{u}=0 y v=0\overrightarrow{v}=0 tienen la misma dirección (es decir, son linealmente dependientes), entonces u×v=0\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=0

  • i×j=k\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}

  • j×k=i\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}

  • k×i=j\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}

Estas tres últimas igualdades se deducen directamente recordando que los tres vectores de la base son perpendiculares y sin90°=1\sin 90\degree =1, y además son vectores unitarios. Por otro lado, es fácil obtenerlas a partir de la expresión analítica del producto vectorial.

El producto vectorial tiene las siguientyes propiedades:

  1. Propiedad anticonmutativa: (u×v)=(v×u)(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} )=-(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u} )

  2. Propiedad asociativa respecto de la multiplicación por un escalar: k(u×v)=(ku×v)k(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} )=(k\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} )

  3. Propiedad distributiva respecto de la adición: u×(v+w)=u×v+u×w\overrightarrow{u}\times (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} +\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}

  4. El producto vectorial no cumplke la propiedad asociativa. u×(v×w)(u×v)×w\overrightarrow{u}\times(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})\ne(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{w}

Simulación 4: Propiedades del producto vectorial.

Producto de tres vectores: producto mixto

El producto mixto de tres vectores se define como:

V=[u,v,w]=u(v×w)=u1u2u3v1v2v3w1w2w3V=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}

Y coincide, en valor absoluto, con el volumen del paralelipípedo construido sobre los tres vectores.

tres vectores

Recurso: Calculadora On Line del Prtoducto Mixto.

Problemas

Problema 1. Calcular el volumen de un tetraedro determinado por los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)

El volumen de una pirámide y, por tanto de un tetraedro, es un tercio del área de la base por la altura. El área de la base es la mitad del área del paralelipípedo determinado por los vectores coincidentes con sus lados. De modo que:

tetraedro

V=13Abaseh=1312i×jk=16[i,j,k]=16100010001=16u3V=\frac{1}{3}\cdot A_{base}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left\lvert\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}\right\rvert \cdot \overrightarrow{k}=\left\lvert\frac{1}{6}\cdot[\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}]\right\rvert =\left\lvert \frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\right\rvert=\frac{1}{6}u^3
Problema 2. Calcular el volumen de un tetraedro cuyos vértices son A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4) y D(9,-1,0)

Se determinan los vectores:

AB=(0,4,0)(4,0,0)=(4,4,0)\overrightarrow{AB}=(0,4,0)-(4,0,0)=(-4,4,0)
AC=(0,0,4)(4,0,0)=(4,0,4)\overrightarrow{AC}=(0,0,4)-(4,0,0)=(-4,0,4)
AD=(9,1,0)(4,0,0)=(5,1,0)\overrightarrow{AD}=(9,-1,0)-(4,0,0)=(5,-1,0)

El volumen del tetraedro será pues:

V=16440404510=323u3V=\left\lvert \frac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix} -4 & 4 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \\ 5 & -1 & 0 \end{vmatrix}\right\rvert=\frac{32}{3}u^3
Problema 3. Dados los vectores a=(1,1,2)\overrightarrow{a}=(1,-1,2) y b=(1,3,4)\overrightarrow{b}=(-1,3,4), determinar el producto escalar de ambos vectores, el ángulo que forman y la proyección del vector b\overrightarrow{b} sobre el vector a\overrightarrow{a}.

El producto escalar es:

ab=xx+yy+zz=1(1)+(1)3+24=4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=xx'+yy'+zz'=1\cdot(-1)+(-1)\cdot 3+2\cdot 4=4

El ángulo que forman ambos vectores es:

cosθ=abab=xx+yy+zzx2+y2+z2x2+y2+z2=41+1+41+9+16=23939\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left\lvert\overrightarrow{a} \right\rvert \cdot \left\lvert \overrightarrow{b}\right\rvert}=\frac{xx'+yy'+zz'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}=\frac{4}{\sqrt{1+1+4}\cdot \sqrt{1+9+16}}=\frac{2\cdot \sqrt{39}}{39}
θ=arccos23939=71.32°\theta=\arccos \frac{2\cdot \sqrt{39}}{39}=71.32\degree

La proyección del vector b\overrightarrow{b} sobre el vector a\overrightarrow{a} se deduce a partir de la definición de producto escalar:

ab=aproyab\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a\cdot proy_a\overrightarrow{b}

De donde:

proyab=aba=41+1+4=416proy_a\overrightarrow{b}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{a}=\frac{4}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{4}{\sqrt{16}}
Problema 4. Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces dichos vectores son perpendiculares.

Dados dos vectores:

u=u1i+u2jv=v1i+v2j\begin{array}{c} \overrightarrow{u}=u_1\overrightarrow{i}+u_2\overrightarrow{j}\\ \overrightarrow{v}=v_1\overrightarrow{i}+v_2\overrightarrow{j} \end{array}

Y, a partir del enunciado,:

{u+v=(u1+v1)i+(u2+v2)juv=(u1v1)i+(u2v2)j}\left\{\begin{array}{c} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1)\overrightarrow{i}+(u_2+v_2)\overrightarrow{j} \\ \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(u_1-v_1)\overrightarrow{i}+(u_2-v_2)\overrightarrow{j} \end{array} \right\}
u+v=uv\left\lvert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\rvert=\left\lvert\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right\rvert

De donde:

(u1+v1)2+(u2+v2)2=(u1v1)2+(u2v2)2(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2=(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2
4u1u2+4u2v2=04u_1u_2+4u_2v_2=0
u1v1+u2v2=0u_1v_1+u_2v_2=0

Es decir:

uv=0\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0

Y se concluye que ambos vectores son perpendiculares.

Problema 5. Determínese el volumen del paralelipípedo construido con los vectores u=(1,0,2)\overrightarrow{u}=(1,0,2), v=(2,2,2)\overrightarrow{v}=(2,2,2) y w=(3,1,2)\overrightarrow{w}=(3,-1,2).
[u,v,w]=u(v×w)=u1u2u3v1v2v3w1w2w3=102222312=10[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}=-10

Con lo que:

V=[u,v,w]=10 u3V=\left\lvert [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]\right\rvert=10\space u^3
Problema 6. Si el producto vectorial de dos vectores es a×b=3i6j+2ak\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{ak} y sus módulos son, respectivamente, 44 y 7\sqrt{7}, determínese su producto escalar.

A partir de la definición de módulo de un producto vectorial podemos obtener el valor del ángulo

a×b=absinθ\left\lvert\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right\rvert=\left\lvert \overrightarrow{a}\right\rvert\cdot \left\lvert \overrightarrow{b}\right\rvert\cdot \sin\theta
sinθ=a×bab=32+(6)2+2247=747\sin\theta=\frac{\left\lvert\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} \right\rvert}{\left\lvert \overrightarrow{a}\right\rvert\cdot \left\lvert \overrightarrow{b}\right\rvert}=\frac{\sqrt{3^2+(-6)^2+2^2}}{4\cdot\sqrt{7}}=\frac{7}{4\cdot\sqrt{7}}

Por otro lado:

ab=abcosθ=ab1(sinθ)2=471(747)2=37\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a\cdot b\cdot\cos\theta=a\cdot b\cdot\sqrt{1-(\sin \theta)^2}=4\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{1-\left( \frac{7}{4\cdot\sqrt{7}} \right )^2}=3\cdot\sqrt{7}
Problema 7. Sean los vectores u=(1,2,3)\overrightarrow{u}=(-1,2,3) y v=(2,1,4)\overrightarrow{v}=(-2,1,4) referidos a la base ortonormal B=e1,e2,e3B={\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}}. Hallar:
  1. El producto vectorial de estos dos vectores.

  2. El área del paralelogramo construido sobre dos representantes de u\overrightarrow{u} y de v\overrightarrow{v} con un origen común.

  3. Comprobar que el vector u×v\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} es perpendicular a los vectores u\overrightarrow{u} y v\overrightarrow{v}.**

u×v=e1e2e3u1u2u3v1v2v3=e1e2e3123214=5e12e2+3e3\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {e_1} & \overrightarrow {e_2} & \overrightarrow {e_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {e_1} & \overrightarrow {e_2} & \overrightarrow {e_3}\\ -1 & 2 & 3\\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix}=5\overrightarrow {e_1}-2\overrightarrow {e_2}+3\overrightarrow {e_3}
Area=u×v=52+(2)2+32=38 u2Area=\left\lvert\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} \right\rvert=\sqrt{5^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{38}\space u^2